Le cube adouci, figure semi platonique, est un cube, à qui on a tiré les faces et tournées, laissant assez de place pour mettre entre les faces carrées, des triangles équilatéraux.

Celui-ci a deux variantes. La première est que les faces carrées (par rapport à la face carrée supérieure du solide) sont tournées dans le sens de l’aiguille d’une montre et la deuxième dans le sens contraire de l’aiguille d’une montre.

Il a 38 faces ; 6 faces carrées et 32 faces triangulaires, 60 arêtes et 24 sommets.

En chaque sommet, il y a 5 faces et 5 arêtes

Voici la variante où les faces carrées sont tournées dans le sens de l’aiguille d’une montre :

Figure 1 Cube adouci par Jovo, vue diagonale, sens horaire, par moi

On voit qu’il y a deux faces triangulaires entre les faces carrées qui se succèdent.

Figure 2 Cube adouci par Jovo, vue de face, sens horaire, par moi

On peut constater que chaque face carrée a 4 « pétales » (triangles) qui suivent ses quatre arêtes.

Figure 3 Cube adouci par Jovo, vue de haut, sens horaire, par moi

Et voici son développement :

Figure 4 Développement du cube adouci par Jovo, vue de haut, sens horaire, par moi

On peut voir que le développement du cube adouci de sens horaire « monte en escaliers », chaque face carrée monte légèrement.

Et voici la variante ou les faces carrées sont tournées dans le sens contraire de l’aiguille d’une montre :

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Figure 5 Cube adouci par Jovo, vue de face, contre sens horaire, par moi

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Figure 6 Cube adouci par Jovo, vue diagonale, contre sens horaire, par moi

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Figure 7 Cube adouci par Jovo, vue de haut, contre sens horaire, par moi

Et voici son développement :

20141129_155835-1

Figure 8 Développement du cube adouci par Jovo, vue de haut, contre sens horaire, par moi

Et nous pouvons voir que le développement du cube adouci de sens contre horaire « descend en escaliers »

Si nous mettons les deux figures côte à côte, nous pouvons observer la différence entre les deux solides, dans le sens horaire et le contre sens horaire :

20141129_160614

Figure 9 Cube adouci par Jovo sens horaire, cube adouci par Jovo contre sens horaire, vue de face, par moi

Quand nous mettons les deux figures côte à côte, nous voyons bien comment sont tournés les carrés de la figure du sens horaire et ceux du contre sens horaire.

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Figure 10 Cube adouci par Jovo sens horaire, cube adouci par Jovo contre sens horaire, vue de haut, par moi

20141129_160619

Figure 11 Cube adouci par Jovo sens horaire, cube adouci par Jovo contre sens horaire, vue diagonale, par moi

On peut comparer les Figure 4 et Figure 8 pour différencier le développement de sens horaire et contre horaire.

3. Observation

J’ai observé que chaque sommet des triangles est en même temps le sommet d’un carré.

J’ai aussi observé qu’il y a deux types de triangles, les triangles qui ont une de leurs arêtes qui est l’arête d’un carré et les triangles où toutes leurs arêtes sont les arêtes d’un triangle. Puis j’ai observé qu’il n’y a aucune face parallèle (mais il y a bien entendu des aires parallèles).

Le cube adouci a 24 sommets, comme un cube.

4. Angle plan en un sommet

Le cube adouci est plus sphérique que l’icosaèdre :

Plus la somme des angles en un sommet est rapproché à 360°–sans l’atteindre-plus il est sphérique.

La sphère idéale a un angle plan en un sommet de 360° (la sphère est tellement lisse qu’elle n’a même pas d’angle).

Comparons la sphère à un cube adouci :

[2009+08+06+RHOMBICOSIDODÉCAÈDRE2.jpg]

Figure 12 Cube adouci internet, comparaison avec sphère, source : leblogdeclaudelothier.blog

Figure 13 Sphère internet, comparaison avec cube adouci, source : pbrt.org

Nous pouvons constater que la différence n’est pas énorme :

Dans le cube adouci, il y a 5 angles en 1 sommet, 4 angles de 60° et 1 de 90°.

Donc son angle plan en un sommet est de 4*60+90 = 240+90 = 330°

Et il lui reste 30° (360-330) pour être à 360° (angle plat).

Figure 14 Angle plan en un sommet plat -6 faces triangulaires côte à côte-, internet, source : educastream.com

Je compare ici les angles plans en un sommet des figures platoniques et du cube adouci.

Tableau 1 Les angles plans en un sommet, figures platoniques

Figure	Angle plan en un sommet
Tétraèdre	180°
Octaèdre	240°
Cube	270°
Icosaèdre	300°
Dodécaèdre	324°
Cube adouci	330°

Nous voyons bien que la figure la plus proche à la sphère est le cube adouci et que la différence entre l’angle plan en un sommet du dodécaèdre (figure platonique dont l’angle plan en un sommet est le plus rapproché à 360°) est seulement de 6°.

5. Arêtes

Nous pouvons compter le nombre d’arêtes avec des ‘’bandes’’

Figure 15 Cube adouci bande, recourbée, fait avec geomag, par moi

Figure 16 Cube adouci bande, plate, fait avec geomag, par moi

Compter combien d’arêtes il y a dans une bande, additionner encore les 2 arêtes qui ne sont pas comptées dans les bandes, et multiplier par 4 (car il y a 4 bandes dans le polyèdre).

Donc ; (13+2)*4 = 60 arêtes.

Il n’y a qu’une longueur d’arête, a

6. Faces

Pour calculer le nombre de faces dans le solide, j’ai d’abord compté les 6 faces carrées du cube, puis j’ai compté toutes les « pétales » des carrés, chacun ayant 4 pétales, il y a 4*6 pétales, donc 24 pétales, avec ça, nous avons déjà 6+24 = 30 faces, mais il y a encore 8 faces triangulaires qui se trouvent entre les pétales des carrés, il y en a 8, donc, il y a 30+8 = 38 faces dans le cube adouci.

Aire d’une face triangulaire de côté a

L’aire d’un triangle est :

Ici il faut calculer h : nous pouvons le trouver avec le théorème de Pythagore.

Nous pouvons voir que () est un triangle rectangle de côtés.

h= = = = = =

Maintenant nous pouvons calculer son aire :

Aire = = = =

Aire = =

L’aire de tous les carrés du solide est :

L’aire de tout le solide est :

Comme nous savons qu’il y a 32 triangles dans le solide, nous faisons 32*l’aire d’une face triangulaire :

Et nous devons additionner à ça 6*l’aire d’une face carrée :

Donc :

7. Sections

Si nous coupons le cube adouci avec un plan de symétrie, nous obtenons un polygone ou un polyèdre complètement irrégulier, car ça fait des zigzags, on ne peut pas parcourir le polyèdre en ligne droite.

8. Pavage

On ne peut ni paver l’espace avec ce polyèdre, ni construire un même polyèdre plus grand avec ce polyèdre.

9. Projection topologique

Voici avec quoi je me suis aidée pour faire la projection topologique. J’ai suivi les triangles et les carrés sur la figure, et je les ai représentés sur la projection topologique, puis j’ai relié avec un stylo feutre (avec la couleur qui correspondait à celle de la figure sur une feuille) les arêtes trop longues pour que je les fasse avec des geomags. Puis en me basant sur ça, j’ai fait ma projection topologique sur l’ordinateur.

20141208_182013

Figure 17 Cube adouci, sens horaire, avec geomag, couleurs pour topologie, par moi

20141208_181558

Figure 18 Cube adouci, sens horaire, avec geomag, couleur pour topologie, topologie, par moi

Voici ma projection topologique du cube adouci sur l’ordinateur. Les boules sont les sommets du cube adouci. Les arêtes bleues sont les arêtes des triangles et les arêtes oranges celles des carré.

10. Topologie

Problème eulérien :

Pour le problème eulérien, je me suis aidée de la topologie de ma figure, et j’ai trouvé que non, on peut passer par toutes les arêtes sans passer deux fois par la même.

Les arêtes noires sont les arêtes sur lesquelles je suis déjà passée (je les ai numérotées de 1 à 49 dans l’ordre avec lequel je suis passée dessus) et nous pouvons constater que sur tous les sommets (à part le dernier), il y a toujours une arête sur laquelle je ne suis pas passée, à part au dernier sommet, car, je peux aller sur la cinquième arête du sommet puisque de toute façon, je n’aurai pas besoin de ressortir de ce sommet vu que c’est le dernier. Il me reste donc 11 arêtes sur lesquelles il faut passer. Cela est le nombre maximum d’arêtes sur lesquelles je suis passée (49) car il y a toujours 5 arêtes sur chaque sommet, et que quand nous passons par les 4 arêtes d’un sommet, si on passe par la 5ème, on ne pourra plus avancer, car sinon nous passons une deuxième fois sur une arête. Donc non on ne peut pas passer par toutes les arêtes sans passer deux fois par la même.

Problème du voyageur de commerce :

Pour ce problème, je me suis également aidée de ma topologie, et j’ai constaté que oui je peux passer sans problèmes par tous les sommets de ma figure sans passer deux fois par le même.

En vert, ce sont les sommets sur lesquels je suis passée (je les ai numérotés de 1 à 24 selon l’ordre avec lequel je suis passée dessus.). On peut constater que j’ai pu passer par tous les sommets de ma figure. Je suis d’abord passée par les sommets « extérieurs » de couleur verte de la figure, puis des sommets « intérieurs » de couleur violette. Donc oui nous pouvons passer par tous les sommets sans passer deux fois par le même.

Combien faut-il au minimum de couleurs pour ne pas avoir 2 faces qui se touchent de la même couleur ?

Il en faut minimum 3.

Figure 19 Cube adouci, par Jovo, contre sens horaire, problème des couleurs, vue diagonale, par moi

Figure 20 Cube adouci, par Jovo, contre sens horaire, problème des couleurs, vue de haut, par moi

Figure 21 ube adouci, par Jovo, contre sens horaire, problème des couleurs, vue de face, par moi

Nous voyons bien qu’il n’y a que 3 couleurs, le vert, le jaune et le blanc, et qu’aucune des faces de la même couleur ne se touchent.

J’ai pensé que, tous les polyèdres qui ont un nombre impair de faces par sommets n’ont besoin que de 3 couleurs pour qu’aucune face de la même couleur ne se touche et que tous les polyèdre qui ont un nombre pair de faces en un sommet ont besoin de 2 couleurs. Mais après avoir bien observé la question, je me suis dite que non, ce que je viens de dire est faux, car le tétraèdre a 3 faces en un sommet mais il lui faut 4 couleurs.

11. Dualité

Pour la dualité je me suis aidée du cube adouci que j’ai construit en plus grand, les geomags qui sont au milieu des faces n’existent pas normalement, je les ai rajoutés pour renforcer mon solide, sinon il se détruirait :

20141207_203937

Figure 22 Grand cube adouci, avec geomag, sens horaire, vue de haut, par moi

20141207_203946

Figure 23 Grand cube adouci, avec geomag, sens horaire, vue diagonale, par moi

Et j’ai observé que, quand on reliait le milieu des arêtes, avec la face carrée on obtient un carré et avec la face triangulaire on obtient un triangle. Mais j’ai aussi observé qu’on obtient également des « pentagones ». Je mets le mot pentagone entre guillemets car on pourrait croire que c’est un pentagone mais en fait non car :

Tous les sommets du « pentagone » ne sont pas sur le même plan.

4 sommets sont sur un et le dernier sur un autre car le polyèdre se courbe.

C’est alors un triangle isocèle et un trapèze isocèle.

Mais tout compte fait, en ayant plus observé cette face, je pense que tous les sommets sont sur le même plan et que c’est simplement un pentagone. Car j’ai pris mon polyèdre et ai imaginé qu’on coupait cette partie, et je me suis dite que si nous posons le pentagone sur une surface plane, il toucherait cette surface avec tous ses sommets. Mais je ne peux pas le prouver.

Je ne sais pas le nom du polyèdre qu’on trouve en reliant le milieu des arêtes mais je sais :

Qu’il y a 24 « pentagones »

Qu’il y a 6 carrés

Qu’il y a 24 triangles

Donc qu’il y a 54 faces

Quand nous relions le milieu des faces du cube adouci, nous obtenons un polyèdre dont je ne sais pas le nom, mais j’ai observé que :

Nous n’obtenons que des pentagones irréguliers.

Je ne sais pas exactement et je ne peux pas non plus le prouver, si tous les sommets du pentagone sont sur le même plan, mais je pense que oui.

Je ne sais pas non plus le nom du polyèdre obtenu mais je peux dire que :

Toutes les faces sont des pentagones irréguliers

Il y a 24 pentagones

Il y a donc 24 faces

J’ai construit ce polyèdre et j’ai observé que le sommet pointu du pentagone regroupe 4 pentagones, donc il y a 4 pentagones qui descendent d’un sommet, et j’ai aussi observé que si nous regardons du haut du sommet pointu vers l’arrête opposée à celui-ci, nous voyons les autres sommets pointus des autres pentagones tournés vers la droite (ça dépend du sens des faces carrées du cube adouci (horaire ou contre horaire))

Ce polyèdre est semi régulier, car toutes ses faces sont des pentagones identiques mais qu’il y a deux types de sommets, le premier est celui où il y a 4 faces en un sommet et le deuxième est celui où il y a 3 faces en un sommet.

Sur la figure que j’ai faite, les sommets « pointus » sont plus hauts que les autres, c’est juste un défaut de construction, normalement ils sont à la même hauteur :

Figure 24 Dual cube adouci, centre des faces, sens horaire vue diagonale, fait avec geomag, par moi

Figure 25 Dual cube adouci, centre des faces, sens horaire vue diagonale/face, fait avec geomag, par moi

Figure 26 Dual cube adouci, centre des faces, sens horaire vue diagonale, avec main, fait avec geomag, par moi

12. Diagonales

Pour calculer le nombre de diagonales en un sommet j’ai fait :

a = Nombre de sommets du polygone

b = le sommet à partir duquel on compte

c = le nombre d’arêtes en un sommet

Divisé par 2 car sinon nous comptons deux fois les diagonales puisque chaque diagonale est liée par deux sommets, et si nous ne divisons pas le calcul par deux, nous comptons la diagonale qui va du sommet 1 au sommet 2 ainsi que la diagonale qui va du sommet 2 au sommet 1, or, c’est la même.

Pour compter toutes les diagonales du solide j’ai simplement multiplié le nombre de diagonale qu’il y a en un sommet par le nombre de sommets :

a = nombre de sommets dans le polyèdre

b = sommet à partir duquel on compte les diagonales

c = nombre d’arêtes en un sommet

Et donc avec mon polyèdre il y aura :

diagonales

Mais avec ce calcul j’ai aussi compté les diagonales « faciales » c’est à dire les diagonales d’une face.

Alors, pour avoir seulement les diagonales qui passent par l’intérieur du solide nous faisons :

d = nombre de diagonales (en comptant les diagonales faciales)

e = nombre de diagonales en une face

f = nombre de faces ayant des diagonales

et donc le polyèdre a

216-2*6 = 204 diagonales qui passent par l’intérieur du solide

Voici le tableau du nombre de diagonales de toutes les figures platoniques ainsi que la mienne.

Tableau 2 Diagonales, figures platoniques

Figure	Nombre de diagonales en comptant les diagonales faciales	Nombre de diagonales sans compter les diagonales faciales
Tétraèdre	0	0
Octaèdre	3	3
Cube	16	4
Icosaèdre	36	36
Dodécaèdre	160	40
Cube adouci	216	204

Nous pouvons voir que le cube adouci est celui qui a le plus de diagonales, faciales ou pas. Puis c’est le dodécaèdre, les polyèdres sont classés avec le même ordre que dans le tableau des angles en un sommet.

13. Axes de rotation

Un axe de rotation, c’est une droite traversant le solide, passant par son centre, et si nous pivotons le solide autour de cet axe à un certain degré (inférieur à 360°) nous devons trouver la même vue du polyèdre qu’au tout début.

J’ai trouvé trois axes de rotation, ce sont les trois axes qui traversent le solide en commençant par le milieu d’une face carrée et finissent par le milieu de la face carrée opposée à celle avec laquelle j’ai commencé. Et pour avoir la même vue du polyèdre qu’au départ, il faut tourner avec un multiple de 90° : 90° ; 180° ; 270° ; 360°.

Figure 28 Cube adouci, sens horaire, axes de rotation, partant et finissant par le centre des faces carrées, vue de haut, fait avec des geomag, par moi

Figure 29 Cube adouci, sens horaire, axes de rotation, partant et finissant par le centre des faces carrées, vue intérieure, fait avec des geomags, par moi

Figure 30 Cube adouci, sens horaire, axes de rotation, partant et finissant par le centre des faces carrée, vue diagonale, fait avec des geomags, par moi

J’ai essayé d’imaginer un axe de rotation commençant par le sommet d’une face carrée et finissant au milieu de la face triangulaire opposée à la face carrée. Mais ce n’est pas un axe de rotation car les faces carrées ne sont pas toutes placées identiquement, un est plus haut, l’autre est plus à gauche…

J’ai également trouvé 4 axes de rotation commençants tous les quatre par le centre d’une des faces triangulaires ayant toutes ses arêtes qui sont les arêtes de trois triangles différents et dont tous les sommets sont les sommets de trois différents carrés et finissant par le centre du triangle opposé à celui par lequel on a commencé, lui aussi ayant toutes ses arêtes qui sont les arêtes de trois triangles différents et dont tous les sommets sont les sommets de trois différents carrés. J’ai regardé qu’il faut tourner avec un multiple de 120° pour avoir la même vue du polyèdre, donc : 120° ; 240° ; 360°

Figure 31 Cube adouci, sens horaire, axes de rotation, partant et finissant par le centre des faces triangulaires, vue de haut, fait avec des geomags, par moi

Figure 32 Cube adouci, sens horaire, axes de rotation, partant et finissant par le centre des faces triangulaires, vue intérieure, fait avec des geomags, par moi

Figure 33 Cube adouci, sens horaire, axes de rotation, partant et finissant par le centre des faces triangulaires, vue diagonale, fait avec des geomags, par moi

Je ne sais pas s’il y a encore des autres axes de rotation mais moi, je n’en ai pas trouvé.

Et donc j’ai trouvé 7 axes de rotation :

Figure 34 Cube adouci, sens horaire, 7 axes de rotation, vue de haut, fait avec des geomags, par moi

Figure 35 Cube adouci, sens horaire, 7 axes de rotation, vue diagonale, fait avec des geomags, par moi

Figure 36 Cube adouci, sens horaire, 7 axes de rotation, vue intérieure, fait avec des geomags, par moi

14. Centre de symétrie centrale

Pour le centre de symétrie centrale, je me suis aidée d’une image, sur laquelle j’ai rajouté 3 axes de rotations (les trois partant et finissant par le centre des faces carrées.).

Le centre de symétrie, c’est le point de croisement des axes de rotation du solide.

Les arêtes bleues sont les arêtes des carrés, les arêtes violettes sont les arêtes des triangles.

Le point bleu est le centre de symétrie.

Figure 27 Cube adouci, sens horaire, internet, centre de symétrie, source: zomefun.canalblog

Je me suis aidée de cette image (j’ai ajouté 3 axes de rotation.)

Et au final, j’ai fait la même chose avec des geomags.

Voir la Figure 28, la Figure 29 et la Figure 30

15. Rayon de sphère

Je peux trouver le rayon de la sphère qui a la même aire que celle du cube adouci en me basant sur la formule de l’aire d’une sphère :

(Source : Wikipédia)

Et donc pour trouver le rayon :

Maintenant que j’ai trouvé la formule pour trouver le rayon d’une sphère en se basant de la formule de l’aire d’une sphère, je peux trouver le rayon de la sphère qui a la même aire que mon solide.

Voir la section numéro 5 (aire)

J’ai mesuré avec la règle et j’ai trouvé que a = 4

Alors le rayon de la sphère est égal à :

Et donc le diamètre est égal à :

D’après mon calcul, le rayon de la sphère est environs égal à 5.028cm, et quand moi j’ai mesuré (en ayant mis un bâton commençant et finissant pas deux faces carrées opposées, tracé ensuite des traits sur les endroits où les faces finissaient et ayant mesuré avec une règle la distance entre les deux traits puis divisé par deux le résultat pour obtenir la longueur du rayon), j’ai obtenu environs 4.7cm.

Et d’après mon calcul, le diamètre de la sphère est environs égal à 10.056cm, et quand moi j’ai mesuré (en ayant mis un bâton commençant et finissant pas deux faces carrées opposées, tracé ensuite des traits sur les endroits où les faces finissaient et ayant mesuré avec une règle la distance entre les deux traits), j’ai obtenu environs 9.4cm.